lingkon

 ধরি, a এবং b দুটি সংখ্যা ।   যেখানে, a ≠ b এবং, c হলো সংখ্যা দুটির গাণিতিক গড়। তাহলে,   a+ b = 2c ⇒ (a+b)(a-b) = 2c(a-b) ⇒ a^2 - b^2 = 2ac - 2bc ⇒ a^2 - 2ac = b^2 - 2bc ⇒ a^2 -2ac + c^2 = b^2 -2bc + c^2 ⇒ (a-c)^2 = (b-c)^2  ∴  a = b

 ✍︎ প্রাইম নাম্বারগুলোকে দুটি ভাগে ভাগ করা যেতে পারে।   ১/  যেসব  প্রাইমকে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ১ অবশিষ্ট থাকে।  যেমন ঃ ৫,১৩,১৭,২৯,৩৭,৪১,........  ২/  যেসব  প্রাইমকে ৪ দ্বারা ভাগ করলে ৩ অবশিষ্ট থাকে।  যেমন ঃ ৩,৭,১১,১৯,২৩,৩১,.......  প্রথমোক্ত প্রাইমগুলোকে দুটি সংখ্যার বর্গের সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা যায়। কিন্তু, শেষোক্ত প্রাইমগুলোর ক্ষেত্রে এটি সম্ভব নয়।                অর্থাৎ,                              ৫ = ১^২+২^২                             ১৩=২^২+৩^২                             ১৭=১^২+৪^২                             ২৯=২^২+৫^২                         ...

 সবচেয়ে প্রাচীন প্যারাডক্সটির সাথে গ্রিক আইনজীবী প্রটাগোরাস এর নাম জড়িত।  প্রটাগোরাস একবার এক দরিদ্র ছাত্রকে কোনো প্রকার সম্মানি ছাড়া শিক্ষাদান করেন । শর্ত ছিল , শিক্ষাগ্রহণ সম্পন্ন হবার পর প্রথম মামলা জয়ের পরে একটি নির্দিষ্ট পরিমাণ অর্থ  প্রটাগোরাসকে দিতে হবে।  ছাত্রটি শিক্ষাগ্রহণ সম্পন্ন হওয়ার পরেও কোনো মামলা গ্রহণ করেনি। প্রটাগোরাস কিছু সময় পরে অর্থের জন্য  ছাত্রটির নামে মামলা করে দেয়।  এখন,  ছাত্র যুক্তি দেখায়,  যদি আমি কেস জিতি তাহলে আইন অনুযায়ী  আমাকে টাকা পরিশোধ করতে হবেনা। যদি আমি কেস হারি, তাহলেও আমাকে টাকা পরিশোধ করতে হবেনা, কারণ শর্ত অনুযায়ী আমি কোনো কেস জিতিনি। সুতরাং, আমি হারি অথবা জিতি, আমাকে কোনো অর্থ পরিশোধ করতে হবেনা।  আর, প্রটাগোরাস এর যুক্তি ছিল,  যদি সে মামলা হারে,  তাহলে আইন অনুযায়ী সে আমাকে অর্থ পরিশোধ করবে।  আর,  যদি সে জিতে,  তাহলে সে তার প্রথম মামলাটি জিতবে,শর্ত অনুযায়ী, সে আমাকে অর্থ পরিশোধ করবে। সুতরাং, আমি হারি অথবা জিতি, তাকে  অর্থ পরিশোধ করতে হবে।  এখন, কথা হলো বিচারক কার প...

 ......................  🅿︎🆁︎🅾︎🆅︎🅴︎  [ -1 = 1]  ..................... (-1)^2 = 1 Or, 2log (-1)= log 1 = 0  Or, log (-1) = 0 Or, -1 = exp(0) Therefore,  -1= 1 _____________________ Again,  Let, exp(x) = -1 Square on both side,  Or, exp(2x) = 1 Or, 2x = 0 Or, x = 0 Or, exp(x) = exp (0) But,  exp(x) = exp(0) and exp (0) = 1 Therefore, -1= 1 ___________________________ Again, √-1 = √-1 Or,  √(-1/1) = √(1/-1) Or, √-1/ √ 1 = √1 / √-1 Or, (√-1)^2 = (√1)^2 Therefore,  -1 = 1 _______________________ We know,  √(a-b) = i √(b-a) --------(1) and,   √(b-a) = i √(a-b) ---------(2) Multiplying (1) and (2),  √(a-b)√(b-a) = i^2 √(b-a)√(a-b) Or, 1 = i^2 Therefore,    1 = -1

 ১|শুধুমাত্র  ৮ ব্যবহার করে ১০০০ বানাতে হবে ? ২| চারটি ৭ ব্যবহার করে ১০০ বানাতে হবে ? ৩| শুধুমাত্র দুটি ৩ ব্যবহার করে ২০ বানাতে হবে ? . . . . যেকোনো গাণিতিক অপারেশন ব্যবহার করা যাবে।  . . . . . . . . . . . . . ১|  ৮ + ৮ + ৮ + ৮৮ + ৮৮৮ = ১০০০ ২| ৭/.৭ × ৭/.৭ = ১০০ অথবা  ৭৭/.৭৭ = ১০০ ৩| ৩!/.৩ = ২০

 ★ ৫৯৭৬১×৪১৭ = ২৪৯২০৩৩৭ উপরের গুণটি ঠিক আছে কি না  কিভাবে বুঝবেন?  ★ ২৫৬৪৯৮৬৩৫ + ২৫৬৮৮৪ = ২৫৬৭৫৫৫১৯  উপরের যোগটি ঠিক আছে কি না  কিভাবে বুঝবেন?  ★ ১৪৭৩১৬৫ - ৫৮৮২৩২ = ৮৮৪৯৩৩ উপরের বিয়োগটি ঠিক আছে কি না  কিভাবে বুঝবেন?  এই নিয়মটি অনেকটা শুদ্ধাশুদ্ধি নির্ণয়ের মতো। গুণের ক্ষেত্রে, ৫+৯+৭+৬+১ = ২+৮ = ১+০ = ১ ৪+১+৭ = ১+২ = ৩;  ৩ × ১ = ৩ ২+৪+৯+২+০+৩+৩+৭ = ৩+০ = ৩  ৩ = ৩ যোগের ক্ষেত্রে,  ২+৫+৬+৪+৯+৮+৬+৩+৫ = ৪+৮=১+২ = ৩ ২+৫+৬+৮+৮+৪ = ৩+৩ = ৬ ৩+৬ = ৯ ২+৫+৬+৭+৫+৫+৫+১+৯ = ৪+৫ = ৯ ৯ = ৯ বিয়োগের ক্ষেত্রে,  ১+৪+৭+৩+১+৬+৫ = ২+৭ = ৯ ৫+৮+৮+২+৩+২ = ২+৮ = ১+০ = ১ ৯-১ = ৮ ৮+৮+৪+৯+৩+৩ = ৩+৫ = ৮ ৮ = ৮

 ধরুন একটি কয়েন টস গেম এ আপনি অংশগ্রহণ করলেন।  গেম এর নিয়মটি হলো আপনি যতো টাকা দিয়ে গেমে অংশগ্রহণ করবেন, ততবার কয়েনটি টস করা হবে।  শর্ত হলো, যখনই হেড উঠবে তখনই খেলাটি শেষ হয়ে যাবে। এখন, ধরুন আপনি বিশ টাকা দিয়ে গেমে অংশ নিলেন।  তাহলে, বিশবার কয়েনটি টস করার কথা।  কিন্তু, প্রথম টসেই অথবা দ্বিতীয় অথবা তৃতীয় টসে প্রথম হেড উঠলো।  তাহলে, বাকি টসগুলো আর করা হবেনা।  এবার আসি পুরস্কার এর কথায়।  যততম টসে প্রথম হেড আসবে (ধরি, n তম টসে) আপনি ২^n টাকা পাবেন।  যদি, আপনি ১ টাকা দিয়ে গেমে অংশ নেন, তাহলে, একবার টস করা হবে।  যদি হেড উঠে আপনি ২ টাকা পাবেন।  তাহলে, আপনি ১ টাকা লাভ করলেন। যদি, আপনি ২ টাকা দিয়ে গেমে অংশ নেন এবং   যদি প্রথম টসে হেড উঠে আপনি ২ টাকা পাবেন।  তাহলে, আপনি কোনো  টাকা লাভ করলেন না। যদি প্রথম টসে হেড না উঠে তাহলে দ্বিতীয় বার টস করা হবে।  যদি এবার হেড উঠে তাহলে আপনি ২^২ = ৪ টাকা পাবেন।  এবং আপনার ২ টাকা লাভ হবে ।  যদি, আপনি ৩ টাকা দিয়ে গেমে অংশ নেন, যদি প্রথম টসে হেড উঠে আপনি ২ টাকা পাবেন।  ত...

 ১| দুটি সংখ্যা লিখুন।  ২|এবার, সংখ্যা দুটিকে যোগ করে যে নতুন সংখ্যাটি (৩ য়) পাবেন সেটিকে সংখ্যা দুটির  নিচে লিখুন।  ৩| ৩ য় সংখ্যা এবং ২ য় সংখ্যা যোগ করে  যোগফলটিকে(৪ র্থ)  ৩ য়  সংখ্যাটির নিচে লিখুন।   একইভাবে, ৫ ম, ৬ ষ্ঠ,........, ১০ ম সংখ্যাগুলো বের করুন।  এবার, ১০ টি সংখ্যা যোগ করুন।  সংখ্যাগুলোর যোগফল হবে ৭ ম সংখ্যাটির ১১ গুণ। (এখানে ফিবোনাচ্চি সিকোয়েন্স ব্যবহার করা হয়েছে। ছবিতে একটি উদাহরণ দেয়া হলো।)