গুণের ক্রমবিকাশ

 গুণন এর ধারণা, ক্রমবিকাশ এবং এর ইতিহাস সর্বোপরি এই প্রক্রিয়াটি যোগের ধারণা এবং ক্রমবিকাশ এর তুলনায় অধিক আকর্ষণীয়। প্রাচীন গুণন প্রক্রিয়া সম্পর্কে খুব অল্পই আমরা জানতে পেরেছি ।

মিশরীয়রা ডুপ্লেশন প্লান ব্যবহার করতো। যেমন, এই প্রক্রিয়ায় ১৭ এবং ১৫ এর গুণ এর নিয়মটি হলো,

১        ১৭
২        ৩৪
৪       ৬৮
৮     ১৩৬
১৬    ২৭২
১        ১৭
........ ...........
১৫     ২৫৫

অর্থাৎ, দ্বিগুণ করে অতিরিক্তটি বিয়োগ। রেনেসাঁ যুগের জার্মান গণিতবিদ মিশেল স্টাইফেল ও ধারাবাহিক দ্বিতকরণ পদ্ধতিটি ব্যবহার করতেন।

১ . ৪২      =      ৪২
২ . ৪২      =     ৮৪
৪ . ৪২      =   ১৬৮
৮ . ৪২     =   ৩৩৬
১৬ . ৪২    =   ৬৭ ২
............. = ............
৩১.৪২      =   ১৩০২

মিশরীয় দ্বিত প্রক্রিয়া (duplation plan) এর সাথে সমসাময়িক রাশিয়ান পিজেন্ট মেথড এর অনেক মিল।

এই প্রক্রিয়ায় ৪৯ এবং ২৮ এর গুণ করতে , ৪৯ কে অর্ধেক করতে করতে ১ এ পৌছাতে হবে এবং তার নিচে যথাক্রমে ২৮ এর দ্বিগুণ, চারগুণ,... করতে করতে এগুতে হবে। ভগ্নাংশ বাদ যাবে। এবং সবশেষে, বিজোড় সংখ্যাগুলোর নিচে যে সংখ্যাগুলো থাকবে সেগুলো যোগ করতে হবে।

৪৯   ২৪   ১২     ৬     ৩      ১
২৮  ৫৬  ১১২  ২২৪  ৪৪৮  ৮৯৬

২৮+৪৪৮+৮৯৬ = ১৩৭২

ভাস্করাচার্য তার লীলাবতী(১১৫০) তে ৫ টি গুণন প্রক্রিয়ার কথা উল্লেখ করেন। এর অনুবাদক আরও ২ টি প্রক্রিয়া তার সাথে সংযুক্ত করেন। পরবর্তীতে প্যাসিওলি তার suma(1494) বইটিতে সর্বমোট ৮ টি প্রক্রিয়ার বর্ণনা করেছেন। আমরা বর্তমানে গুণের যে প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করে থাকি সেটি চেজবোর্ড মাল্টিপ্লিকেশন নামেও পরিচিত। এর আর একটি নাম হলো লিটল স্টেয়ার্স। তবে লীলাবতীতে প্রাপ্ত গুণনের নিয়মগুলো একটু ভিন্ন।

এখানে, গুণক কে একটি সংখ্যা ধরা হতো। এবং বাম থেকে গুণ করা হতো।

 ১৩৫
১২
...........
১২
  

   ৩৬     

      ৬০
...............
  ১৬২০

আরেকটি নিয়মে গুণক কে আলাদা ই রাখা হতো। তবে, বাম থেকে গুণ প্রক্রিয়া শুরু হতো।

  ১৩৫
১ ২
.............
১৩৫
   ২৭ ০
.............
১ ৬ ২ ০

প্যাসিওলি'র অষ্টম মেথডটির ইটালিয়ান নাম হলো
স্ক্যাপেজ্জো। গুণক কে অনেকগুলো ছোট ছোট ভাগে ভাগ করে গুণ করা হয়।

২৬×৬৭=(৩+৪+৫+৬+৭+৮)×৬৭

 
= ২০১+২৬৮+৩৩৫+৪০২+৫৩৬= ১৭৪২

এছাড়াও, গেলোসিয়া/সিয়েভ/ সেল/গ্রান্টিং/স্কয়ার নামে পরিচিত, যার বর্তমানে বহুল ব্যবহৃত নাম হলো ল্যাটিস পদ্ধতি।
এই পদ্ধতিতে গুণের প্রক্রিয়াটি হলো,
প্রথমে, একটি চতুর্ভুজ তৈরি করতে হবে। গুণ্যের যতটি অংক চতুর্ভুজটিকে ততটি কলামে ভাগ করতে হবে । এবং, গুণকের যতটি অংক চতুর্ভুজটিকে ততটি সারিতে ভাগ করতে হবে। এরপর, প্রতিটি ঘরকে ডান দিক থেকে কর্ণ বরাবর দুই ভাগ করতে হবে।গুণ্য কে চতুর্ভুজটির উপরে লিখতে হবে এবং গুণক কে চতুর্ভুজটির ডানে কলাম আকারে লিখতে হবে। এরপর, গুণক এবং গুণ্য গুণ করে প্রতি ঘরে দশকের অংক উপরে এবং শতকের অংক নিচে লিখতে হবে। এরপর, কর্ণ বরাবর যোগ করতে হবে। এবার, যোগফলগুলোকে কর্ণ বরাবর নিচে লিখতে হবে। এরপর, বাম থেকে ডান বরাবর প্রতিটি সংখ্যা পাশাপাশি বসিয়ে দিলে গুণফলটি পাওয়া যাবে। (৯৩৪ এবং ৩১৪ এর গুণফল এই প্রক্রিয়ায় কতো হবে?)

 

 

অ্যাবাকাস এর সাহায্যে ৪৬০০ কে ২৩ দ্বারা গুণ করার প্রক্রিয়াটি নিচের ছবিতে দেখতে পাচ্ছেন। শুন্যের জায়গাটি ফাঁকা থাকতো। হিন্দু - অ্যারাবিক গণনা প্রক্রিয়ার প্রাথমিক যুগের প্রভাব এর মধ্যে রয়েছে । এখান থেকেই হয়তো চেসবোর্ড মেথড নামটি এসেছে।